अंकगणित (Arithmetic) — बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार

पोलिस भरतीसाठी अभ्यासलेले — परिभाषा, पद्धती, जलद ट्रिक्स, उदाहरणे व सराव प्रश्न (मराठीत).

➕ बेरीज (Addition)

परिभाषा

दोन किंवा अधिक संख्यांची बेरीज म्हणजे त्या संख्या एकत्र करून मिळालेली एक नवीन संख्या (योग).

काय करतात (Steps / पद्धत)

  1. घटकांना उजव्या बाजूने (एककांची जागा) एकमेकांखाली ओळखा.
  2. एककांची बेरीज करा, आवश्यक असल्यास पाश (carry) पुढच्या स्तंभाला द्या.
  3. दहाची, शेकट इ. स्तंभांसाठी पुन्हा बेरीज करा आणि शेवटी पाश जोडा.

उदाहरण

उदा: 4,789 + 2,367 = ?
4,789 + 2,367 = 7,156

फर्ज / Tips (जलद)

टिप: मोठ्या संख्यांमध्ये आधी टप्प्याटप्प्याने जोडा — उदा. (4,789 + 2,367) = (4,789 + 2,000) + 300 + 60 + 7 = 7,156.
(कॅल्क्युलेटर बंद असल्यास mental addition साठी उपयोगी)

➖ वजाबाकी (Subtraction)

परिभाषा

एखाद्या संख्येमधून दुसरी संख्या कमी करणे म्हणजे वजाबाकी (difference) मिळविणे.

पद्धत

  1. उजवीकडून सुरुवात करा — एकक स्तंभ कमी करा.
  2. जर घटक मोठा वाटत नसेल (उदा. 3 ≤ 8 साठी), तर थेट वजा करा; अन्यथा उजवीकडील स्तंभातून एकक उधार (borrow) करा.
  3. सर्व स्तंभांवरुन प्रक्रिया करा.

उदाहरण

उदा: 5,000 − 2,678 = ?
5,000 − 2,678 = 2,322

टिप

ट्रिक: जर मोठ्या संख्येपासून छोट्या संख्या वजा करत असाल तर "समतुल्य रूप" वापरा — उदा. 10000 − 2678 = (9999 − 2678) + 1 = 7321 + 1 = 7322.

✖️ गुणाकार (Multiplication)

परिभाषा

गुणाकार म्हणजे एका संख्येचा दुसऱ्या संख्येच्या किती पट (times) असा निर्धारण. गुणाकारातून पटाकार (product) मिळतो.

मौलिक गुणधर्म

  • परिमेय (Commutative): a × b = b × a
  • सहयोगी (Associative): (a × b) × c = a × (b × c)
  • वितरणीय (Distributive): a × (b + c) = a×b + a×c

लांब गुणाकार उदाहरण

उदा: 237 × 46 = ?
237 × 46 = 237×(40 + 6) = 237×40 + 237×6 = 9,480 + 1,422 = 10,902

मल्टिप्लिकेशन टेबल (Generate)

टेक्निक (जलद गुणाकार)

  • 5 ने गुणाकार: संख्या ×5 = (संख्या ÷ 2) ×10 — अंक सम संभाळून करा.
  • 9 ने गुणाकार: n×9 = n×(10 −1) = 10n − n.
  • 11 ने गुणाकार ( दो अंकी ): ab × 11 = a (a+b) b — जर (a+b) ≥10 तर मध्य भागात कॅरी करा. उदा. 34×11 = 3 (3+4) 4 = 374.

➗ भागाकार (Division)

परिभाषा

भागाकार म्हणजे एखाद्या संख्येला दुसऱ्या संख्येने कितीदा विभागता येते हे शोधणे (quotient) आणि उरलेला भाग (remainder).

दीर्घ भागाकार (Long Division) Steps

  1. डिव्हायडेंडच्या सुरुवातीपासून कमी/समान अंकीतील संख्या घेऊन ती डिव्हायजरने भागा.
  2. क्वोशंटचा अंक लिहा, गुणाकार करून वजा करा, उरलेला भाग पुढचा अंक कमी करा आणि प्रक्रिया पुन्हा करा.
  3. जेंव्हा सर्व अंक वापरले जातात तेव्हा प्राप्त झालेला उर म्हणजे remainder.

उदाहरण

उदा: 5,432 ÷ 12 = ?
12→5432: 12×4=48 → 54−48=6 → bring down 3 → 63 → 12×5=60 → remainder 3 → bring down 2 → 32 → 12×2=24 → remainder 8 → quotient = 452 remainder 8.

भागाकाराच्या ट्रिक्स

  • Divisibility rule (भाग होण्याची लक्षणे): 2 (शेवटचा अंक सम), 3 (अंकी बेरीज 3 ने भागायची), 5 (शेवट 0/5), 9 (अंकी बेरीज 9 ने भागायची), 11 (विकट पद्धत) इ.
  • झटपट चाचणी: 3 ने भाग होतो का? → सर्व अंकी बेरीज करा; जर 3 ने भागवलं तर पूर्ण संख्या भागेल.

⚡ जलद ट्रिक्स व मेंटल मथ (Mental Math Tricks)

कॅस्टिंग आऊट नाइन्स (Casting out nines)

मोठ्या बेरीज/गुणाकार तपासण्यासाठी उपयोगी. एखादी ऑपरेशन बरोबर आहे का हे तपासण्यासाठी checksum वापरा.

डिस्ट्रिब्यूटिव्ह ट्रिक (Break & Multiply)

उदा. 98 × 47 = (100 −2) × 47 = 4700 −94 = 4606 — ब्रेक करून सोप्पं करा.

राऊंडिंग आणि अ‍ॅडजस्ट

जास्त सोपं: 499 + 238 = (500 −1) + 238 = 738 −1 = 737.

अल्टरनेट मेथड्स

  • गुणाकारासाठी Vedic shortcuts (उदा. vertically and crosswise) — परीक्षेत वापरण्यासाठी सराव आवश्यक.
  • भागाकारात क्लोजेस्ट बेस (100s, 1000s) वापरून remainder सहज मिळतो.

📝 सराव प्रश्न (Practice Problems)

Q1: 7,856 + 9,247 = ?
उत्तर: 17,103
Q2: 12,003 − 8,579 = ?
उत्तर: 3,424
Q3: 324 × 56 = ?
उत्तर: 18,144
Q4: 9,876 ÷ 24 = ? (क्वोशंट व रिमेन्डर)
उत्तर: Quotient = 411, Remainder = 12 (कारण 24×411 = 9864; 9876 − 9864 = 12)

प्रॅक्टिस सेट (Solve without calculator)

  1. 4,567 + 8,934 = ?
  2. 10,000 − 3,789 = ?
  3. 789 × 27 = ?
  4. 45,678 ÷ 56 = ? (Quotient & Remainder)
  5. Using trick: 99 × 76 = ? (use 100−1)
(उत्तर पाहण्यासाठी वरच्या बटणांचा उपयोग करा — सराव प्रश्न सोडवून नंतर उत्तर तपासा.)

➗ अतिरिक्त: अपूर्णांक (Fractions), LCM व GCD

भाजक व हर

पूर्ण संख्यांसह अपूर्णांक कसे जोडायचे/वजा करायचे/गुणाकार आणि भागाकार करायचे — बेसिक नियम:

  • बेरीज: समान हर असतील तर सरळ बेरीज; वेगळे हर असतील तर LCM घेऊन समसार करा.
  • गुणाकार: (a/b)×(c/d) = (a×c)/(b×d).
  • भागाकार: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c).

GCD (महत्तम समसक) व LCM (किमान सामान्य गुणक)

GCD शोधण्यासाठी Euclidean algorithm वापरा — हा जलद आणि परीक्षाभिमुख आहे. LCM × GCD = product of numbers (for two numbers).