परिभाषा
सरासरी (Average) म्हणजे एखाद्या समूहातील सर्व मूल्यांची बेरीज करून त्या मूल्यांच्या संख्येने भागल्यावर मिळणारी संख्या — ही समूहाचं 'पकीस' प्रतिनिधीत्व करणारी एक किंमत आहे.
साधारणतः परीक्षा-प्रश्नांमध्ये तीन प्रकारची सरासरी विचारली जातात: Arithmetic mean (साधी सरासरी), Weighted average (वजनी सरासरी), आणि Combined average (संयुक्त सरासरी).
Arithmetic Mean (साधी सरासरी)
सूत्र
Arithmetic Mean = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
उदा. 5, 8, 12 या तीन संख्यांची सरासरी = (5+8+12)/3 = 25/3 = 8.333...
गुणधर्म (Properties)
- जर सर्व मूल्यांमध्ये कन्स्टन्ट k जुळवून दिले (प्रत्येकाला +k) तर सरासरी मध्ये k वाढते.
- जर सर्व मूल्यांमध्ये गुणिले k केले तर सरासरी देखील k ने गुणिले होते.
- सरासरीमध्ये एक नवीन मूल्य घातल्यास नवीन सरासरी कशी बदलते हे फायनॅन्स आणि velocity प्रश्नांत उपयोगी.
उदा: 6 विद्यार्थ्यांचे गुण: 62, 70, 75, 80, 85, 88. सरासरी = (62+70+75+80+85+88)/6 = 460/6 = 76.67.
Weighted Average (वजनी सरासरी)
सूत्र
Weighted Average = (w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ) / (w₁ + w₂ + ... + wₙ)
जिथे wᵢ हे दर घटकांचे weights (महत्व) असतात.
उदा: एका वर्गात Section A (20 विद्यार्थी) मधील सरासरी गुण = 72; Section B (30 विद्यार्थी) मधील सरासरी = 80. एकूण वर्गाची सरासरी = (20×72 + 30×80)/(20+30) = (1440+2400)/50 = 3840/50 = 76.8.
Weighted average हा 'समेकित सरासरी' सारखा विचार करा — संख्या × वजनांचे नियम वापरा.
Combined Average (संयुक्त सरासरी) / Change in average
कधी वापरावे
जेव्हा दोन किंवा अधिक गट एकत्र करावे किंवा नवीन मूल्ये जोडल्याने सरासरी कशी बदलते हे शोधायचे असते.
सूत्रे व टिप्स
- आधीचे एकूण = initial average × initial count.
- नवीन एकूण = जुना एकूण + नवीन मूल्यांची बेरीज; नवीन सरासरी = नवीन एकूण / नवीन count.
- जर सरासरी m ने वाढली तर एकूण बदल = m × नवीन count.
उदा: एखाद्या संघाची सरासरी वय 25 (10 सदस्य). दोन नवीन सदस्यांची वय 30 व 35 जोडल्यास नवीन सरासरी = (25×10 + 30 + 35) / 12 = (250 + 65)/12 = 315/12 = 26.25.
ट्रिक्स व जलद मार्ग (Exam Shortcuts)
- Quick check: सरासरी × संख्या = सर्वांची बेरीज — या रीतीने गटांचा एकंदर योग पटकन मिळवा.
- Missing value: जर n मध्ये एक मूल्य गहाळ असून सरासरी दिली असेल, तर missing = desired_total − current_total.
- Difference method: Two group average difference trick — (A−B) = (sumA/countA − sumB/countB) useful in mixture problems.
- Weighted mean shortcut: For two values a and b with weights m and n, mean = (am + bn)/(m+n) — if mean is between a and b, ratio helps.
सराव प्रश्न (Practice)
Q1: 5 संख्यांची सरासरी 24 आहे. जर त्यात एक संख्या 30 टाकली, तर नवीन सरासरी काय? (उत्तर व स्पष्टीकरण दाखवा)
जुने एकूण = 24×5 = 120. नवीन एकूण = 120 + 30 = 150. नवीन count = 6. नवीन सरासरी = 150/6 = 25.
Q2: A ची सरासरी 70 आहे (10 लोक). B ची सरासरी 60 आहे (15 लोक). एकत्रित सरासरी काय?
Total = 70×10 + 60×15 = 700 + 900 = 1600; Count = 25; Mean = 1600/25 = 64.
Q3: एका विद्यार्थ्याच्या स्कोअरची सरासरी 8 गुणांनी वाढली ज्यात त्याने 90 गुण जोडले. मूळ किती विद्यार्थी होते?
Let n be original count. Increase in total = 90. Increase in mean = 8 = 90/(n+1) ⇒ n+1 = 90/8 = 11.25 ⇒ not integer — check question; likely meant 90 added to all? (If 90 added total then n = (90/8) −1 = 10.25 — suspicious). Re-check question framing in exam.
अधिक सराव (Solve without calculator)
- तीन संख्यांची सरासरी 20 आहे; त्या तीनपैकी एक 32 आहे; इतर दोन संख्या किती एकूण?
- एका वर्गाची दोन गटांची सरासरी 40 (10 विद्यार्थी) व 50 (15 विद्यार्थी). After merging what's mean?
- एका संघाची सरासरी वय 30 (12 सदस्य). एका व्यक्तीची मुलाखतीनंतर तो सरासरी 31 झाला; त्या व्यक्तीचे वय किती?