परिचय
मोजमाप (Mensuration) म्हणजे भौमितिक आकृत्यांचे परिमाण (लांबी), क्षेत्रफळ (area), परिमिती (perimeter) व घनफळ (volume) यांचे मोजमाप करण्याची पद्धत. परीक्षेत सर्वसाधारणपणे त्रिकोण, चतुरश्रेणी (quadrilaterals), वर्तुळ, पट्ट्या, सिलिंडर, घन, शंकू व गोळा यांचे प्रश्न येतात.
मुलभूत संकल्पना व चिन्हे
- Perimeter / परिमिती = आकृतीची सभोवतालची लांबी (units: m, cm).
- Area / क्षेत्रफळ = आकृतीने व्यापलेले क्षेत्र (units: m², cm²).
- Volume / घनफळ = ठराविक आयतन (units: m³, cm³, L).
- 1 m = 100 cm; 1 km = 1000 m; 1 m² = 10000 cm²; 1 m³ = 1000 L.
2D आकृत्या — परिमिती व क्षेत्रफळ (Common Formulae)
चौकोन / चौरस (Square & Rectangle)
Square: side = a → Perimeter = 4a, Area = a²
Rectangle: length = l, breadth = b → Perimeter = 2(l+b), Area = l×b
त्रिकोण (Triangle)
Perimeter = a + b + c
Area (base b, height h) = ½ × b × h
Area (Heron): s = (a+b+c)/2 → Area = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]
वर्तुळ (Circle)
Radius = r, Diameter = d = 2r
Circumference (परिमिती) = 2πr = πd
Area = πr² (usually π ≈ 22/7 किंवा 3.1416)
समवृत्त व इतर
Parallelogram area = base × height
Trapezium area = ½ × (a + b) × h (a,b = parallel sides)
उदा: Rectangle l=12 cm, b=5 cm → Area = 60 cm²; Perimeter = 34 cm.
3D आकृत्या — घनफळ व पृष्ठभाग (Volume & Surface Area)
घन (Cube)
Side = a → Volume = a³ ; Surface Area = 6a²
आयताकृती घन (Cuboid)
l,b,h → Volume = l×b×h ; Surface Area = 2(lb + bh + hl)
सिलिंडर (Cylinder)
Radius = r, height = h → Volume = πr²h ; Curved Surface Area (CSA) = 2πrh ; Total Surface Area (TSA) = 2πr(h + r)
शंकू (Cone)
r = base radius, h = height, l = slant height
Volume = (1/3)πr²h ; CSA = πrl ; TSA = πr(l + r)
गोळा (Sphere)
Radius r → Volume = (4/3)πr³ ; Surface Area = 4πr²
उदा: Cylinder r=7 cm, h=10 cm → Volume = π×49×10 = 490π cm³ ≈ 1539.38 cm³ (π=3.1416).
युनिट रूपांतरण (Unit Conversions)
- 1 m = 100 cm
- 1 cm = 10 mm
- 1 m² = 10,000 cm²
- 1 m³ = 1,000,000 cm³ ; 1 m³ = 1000 L
- Square & cubic conversion tip: multiply/divide factors squared/cubed accordingly.
उदा: 2500 cm² = 0.25 m² (कारण 1 m² = 10000 cm²).
ट्रिक्स व परीक्षाभिमुख टिप्स
- π साठी 22/7 वापरण्यापूर्वी तपासा की diameter 7 ने भागते का — नसेल तर 3.1416 वापरा.
- Area vs Perimeter: प्रश्नात काय विचारले आहे ते नेहमी वाचा — काहीतरी 'perimeter' तर लांबी मिळते; 'area' तर square units अपेक्षित.
- Heron चा वापर करताना s नेहमी पहिले काढा; यामध्ये negative root मिळणार नाही.
- युनिट्सची चूक होऊ देऊ नका — वेळ वाचवण्यासाठी सर्व units एकसारखे करा.
- प्रॅक्टिससाठी प्रत्येक आकृतीच्या मुख्य फॉर्म्युला लक्षात ठेवा; 10-15 सराव प्रश्न रोज करा.
सराव प्रश्न (Practice)
Q1: चौरसाचा बाजू 12 cm आहे. त्याचा क्षेत्रफळ व परिमिती काय?
Area = 144 cm² ; Perimeter = 48 cm.
Q2: Triangle with sides 13, 14, 15 cm. Area किती? (Heron)
s = (13+14+15)/2 = 21 → Area = √[21(8)(7)(6)] = √(7056) = 84 cm².
Q3: Cylinder r=5 cm, h=12 cm. Volume व TSA?
Volume = π×25×12 = 300π cm³ ≈ 942.48 cm³. TSA = 2πr(h+r) = 2π×5×(12+5)=10π×17=170π ≈ 533.52 cm².
अधिक प्रश्न (चाचणी)
- A rectangle has diagonal 13 cm and length 5 cm. Find breadth & area.
- A sphere has radius 7 cm. Find volume & surface area.
- Convert 3.5 m³ to liters.